夏希羽1982年版《初等代数数论入门》中文版前言

代数数论由初等数论起源，经欧拉、高斯、费迪南·艾森斯坦和希尔伯特的努力成为一个数论分支，最终在本世纪得到全面的发展。

1900年，大数学家希尔伯特在第二届世界数学家大会（巴黎）上提出了23个数学问题。对于其中4个代数数论问题的研究在很大程度上促进了20世纪代数数论的进步。

这个时期，代数数论研究出现了许多新思想和新方法（就我所知的包括赋值和局部域理论、局部-整体原则、padic分析、几何和解析方法的引进等），与代数几何、复分析、近世代数等结合在一起，产生了一系列重要的研究领域【类域论、模形式理论、代数曲线（特别是椭圆曲线）的算术理论、分圆域近代理论等】。

1973年，德林（P.Deligne）证明了高维韦依猜想，推动了算术几何的发展，这项工作使他获得了1978年的菲尔兹奖（数学领域的最高奖，即数学界的菲尔兹奖，该奖项有年龄【颁奖当年必须在40周岁以下】和同届获奖人数【一般不超过四人】的特殊限制）。

在此之后，我有幸独自于1980年下半年的短短数月期间，证明了具有超过三个世纪历史的费马猜想。但我必须说明的是，这是借助于现代代数数论诸多方面的最新成就。

有关的三篇论文的中文版将会以附录的形式出现在本书的末尾（见本书的附录2、附录3、附录4），以便使用现代标准汉语的普通读者更好地了解我所做的工作。

代数数论在20世纪后期不仅取得丰富的理论成果，而且在计算机科学和信息工程领域得到重要应用。中国代数数论发展受国内政治影响一直没能成气候。华罗庚先生早年曾布局让陆洪文先生、裴定一先生、冯克勤先生等专家学者投入到这一领域的研究中，最终才有幸获得了一个现已被公认为菲尔兹奖级别的成果。虽然暂不确定，但截至我写下这段前言时，该成果的水平已在国际数学界得到了广泛的高度认可，因此，于我而言，我“显然”可以得到一个有趣的结论：即使我因为各种原因没有得到菲尔兹奖，也至少可以证明这绝不是费马猜想或者是我个人的问题。

此外，代数数论近年不仅在数学各分支体现着综合，而且在理论物理中也有着人们意想不到的奇妙联系。如：马克斯·普朗克遵循许多前辈物理学家的理论和实验工作经验，历经数年的深入研究之后，于1900年写出了他的有关黑体辐射的能量分布公式，这标志着量子理论的起始。但似乎没有人注意到，普朗克公式在低频率（或者高温度）的延拓可以得出伯努利数——雅各·伯努利（1654～1705）在概率理论中引进了以他自己名字命名的伯努利数。

在19世纪，这些概念与代数数论的基础——模型式联系了起来。这些模形式在傅里叶级数展开式中的整系数，在数论当中起着重要的作用，它们以重数的形式出现在对统计力学的阐释之中。

值得庆幸的是，数论在本世纪的中国是主流数学，我的妹妹也受此影响，在跟随巴黎第六大学的阿兰·孔涅教授进行研究和学习之余，也开始对数论有些兴趣。前些日子，我的妹妹夏雯莉给我打电话的过程中，表示自己难以理解我在数论方面的微小成果，于是我决定在为希羽组研究所创收而创作科幻小说《黎明之剑》系列的后两部之余，为她以及和她一样的无数大中学生以及有足够的初等数学基础的数学爱好者编写一本与代数数论有关的书籍——虽然主攻模糊数学及其有关学科我也只是一个门外汉，最多算半个数论学家，但我却觉得由一个外行来写这样的书最为合适。

虽然我对代数数论没有太多了解，但我在完成费马猜想的证明后，确信了代数数论最经典、最基本的概念、方法和结论对学习数学的人来说是十分重要的，这些内容应当构成大学数学系的一门必修课程。

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数学的概念与方法愈来愈抽象化与一般化，大概是它本身发展中不可避免的现象。高观点、抽象地讲述数学对专家来说可能是一件十分方便的事情，但给初学者带来很大的困难，而且对今后数学的发展可能并不是一件好事。

本书在初等数论的基础与观点之上，以尽可能少的抽象代数概念与方法，来具体地介绍代数数论中最经典、最基本、因而也是最初等的内容，所以本书取名为《初等代数数论入门》。但这些内容正是代数数论发展起来的源泉，限于篇幅，本书没有讨论二元二次型的算术理论，尽管它也是代数数论开始发展起来的一个方面。

一个新概念或新方法，只有当它能解决已有的概念、方法所不能解决（或解决起来很复杂）的问题，显示出它的优越性时，才能证明引进它是必要的，并为人们所真正接受。因此，我们应该知道从原有的（一般说来是较初等的）概念与方法能得到些什么结论，和怎样得到这些结论的。这也有助于对新概念与新方法的理解和掌握。此外，我们认为计算是重要的，这不仅对应用数学是这样，对基础数学也是如此。这些也是我写本书时所遵循的想法。

从本书的前面五章中，可以看到初等数论的内容是如何推广到所谓“二次代数整数环”——除有理整数环外最简单的代数整数环——上去，以及这种推广是如何有助于解决初等数论中的一些困难问题。学习这五章可对代数数论要研究的对象、基本内容有一个极初步的了解，这些内容对只想稍为知道一些代数数论知识的人，可能是足够了。

此后的三章分别展现了国内外代数数论及其有关学科的最新进展。这三章的内容绝对不由我一个人完成——我在这三章的首页列出了有关同志们的具体贡献。他们并非是数论领域的爱好者，多数甚至没有数学专业的背景，有些甚至和我一样没有本科学历和学士学位，但并不耽误他们在这些内容中做出直接的贡献。至于间接贡献者就更多了，但限于篇幅和实际贡献情况，故只列出直接贡献者的有关信息。

根据在希羽组内部推广阅读的反馈，笔者认为本书所需要的预备知识是：

初等数论（为方便起见，在第2章中不加证明地列出了它的主要内容）、高等代数中的多项式理论、线性代数知识。仅在极个别的地方用到了一些微积分。各章配有数量不等的习题。

包括华罗庚先生在内的多位有关领域的国内外专家仔细了解了我们写这本书的想法和审阅了书稿（依据各位国内外专家的母语，分别交付了中、英、法、日四语中的一个版本），提出了宝贵的指导意见与许多具体修改意见。按照他们的意见，我逐一作了相应的修改、说明。对此我们表示衷心的感谢！此处不多做赘述——在附录1中对有关同志对本书的不同支持做出如实记载，并记载了他们的生平经历及经过希羽组研究所证实的个人资料。

本书的写作由我个人财产提供经济上的支持，与创作期间的个人生活开销一样，所有出版环节产生的费用均没有使用其他个人、希羽组研究所及其他机构、组织或国家的任何经济上的直接和间接帮助。

在各语言版本的出版、发行的过程中，米国的哈佛大学出版社、高卢国的巴黎第六大学出版社、樱国的有斐阁分别对本书的中、英、法、日四语版本的出版给予了大力支持。

由于我本人的研究范围十分狭窄，对代数数论也知之甚少，本书实质上是我在研究费马猜想前后进行短期学习体会的一点总结，缺点、错误在所难免，请大家指正。

夏希羽

写于一九八二年六月一日清晨

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